Working Essay · Institutional Investment Series

論考別紙 · 第1.3版

決める式

論考別紙　導出と決定の数理 — 誤り率・停止・公理・縮小・契約評価の十三式

性格　論考別紙（考える紙）第30号。〔数式の読み方〕（第6号）が第2.0版から第3.0版まで第Ⅱ部として抱えていた「導出と決定」を、独立の巻にした。第6号は本編の十五の式を「読める」ようにする巻であり、本紙は一歩進んで「式で決められる」ようにする巻である——本編の主張の背後にある導出・検定・意思決定の数理を、決定理論・リスク公理・推定誤差・契約評価の十三式で与える。飛ばしても本編と第6号の理解に穴は開かない
凡例　本紙の式番号は〔数式の読み方〕の十五式に続く（式16〜28・補式3〜4）。数値例の番号も同じく続き番号である（数値例2〜7）。本紙の式は各分野の教科書級の周知の結果であり、新規の数理主張を含まない——学術文献への言及は原典または出版社の要旨で照合済みである（照合の記録は資料別紙〔検証の記録〕 CM157〜163・DS26_03・DS26_04・DS26_09）。数値例はすべて模式値で、制作リポジトリのテストが機械検算している
読む順　どの節も独立に読める。理事会向けの答えの導出だけが要るなら、Ⅰ節の表1から必要な節へ直接飛ぶ。第6号のⅡ節（式1）と数値例1を先に読んでおくと、Ⅱ節の非平滑化の一般理論が短く読める
版　第1.3版（題辞を『孟子』離婁上へ（本書からの引用を四書五経に替える）。本文は不変。前版1.2）· 2026年10月

離婁の明、公輸子の巧も、規矩を以てせざれば、方員を成すこと能わず。

—『孟子』離婁上

本紙の使い方

〔数式の読み方〕を読み終えた読者のための巻です。第6号が「読む」なら、本紙は「決める」——一段だけ深くなります。理事会向けの答えの導出だけが要るなら、Ⅰ節の表1から必要な節へ直接飛んでください。決め句は一行です——事後の裁量を、事前の規律に変える。

論考別紙

決める式 — 導出と決定の数理

読める式の先に、決められる式がある。誤りの費用を先に書き、規則を先に書く——事後の裁量を、事前の規律に変える十三式。

論考別紙 Ⅰ本紙の性格 — 決める式（表1）

〔数式の読み方〕は、本編と統合各章に現れる十五の式を「読める」ようにした。本紙は、一歩進む——式で決められるようにする。ここに並ぶ十三の式は、〔数式の読み方〕の結び（Ⅸ）で立てた二分類——剥がす式・訳す式——のどちらでもない。第三の類、決める式である。共通の形は一つ: 誤りの費用を先に書き、規則を事前に固定する。誤り率を先に選ぶ（式19・22）、監視の停止境界を先に書く（式20）、契約の条項を先に値付けする（式27〜28）——本書が全篇で説いてきた「事前に書かれた基準」「どの誤り率を選んだか」の、数理の本体がここにある（表1）。

本紙は補遺である。飛ばしても、本編と〔数式の読み方〕の理解に穴は開かない。だが理事会が「なぜ3年で解約してはいけないのか」「なぜ制約だらけの配分が笑われないのか」「なぜ条項一つに50億円の値札がつくのか」を数字で問われたとき、答えの導出はすべてこの六節に置いてある。各節は独立で、言葉の導入から入り、数値例で終わる。数値例はすべて模式値で、制作リポジトリのテストが機械検算している。主要な式には〔数式の読み方〕の式4と同じ様式の導出ボックス——定義から機械的に出る道筋——を添えた。読み飛ばしても本文はつながるが、理事会で「その式はどこから来たのか」と問われたとき、答えはボックスの中にある。

読む速度は、三つ用意した。第一速（10分）——各節の冒頭に置いた「この節の問い／先に答え」の二行と、図1〜4だけを追う。理事会の速度である。第二速（1時間）——各式の直前の言葉の版（式が言うことの日本語一文）と数値例まで。実務の速度である。第三速——導出ボックスの中まで。検証の速度である。

あわせて、各式に数学の前提を付した。物差しは四段——【一】算術（加減乗除と割合。電卓で足りる）、【二】高校数学（平方根・対数・場合分け・平均と標準偏差）、【三】教養統計（正規分布のΦとz・期待値・分散。大学初年級の統計学入門）、【四】専門統計（尤度・偏微分・行列）。先に全体を言っておく——〔数式の読み方〕の式は、Φを使う式14・15（【三】）を除き、【一】〜【二】——高校数学までで読める。そして本紙も、本文と数値例は【三】までですべて読める。【四】が現れるのは導出ボックスの内側だけであり、ボックスは飛ばしても本文はつながる（表1の最終列）。

表1　本紙・十三式の一覧と、決める場面
式	名前	何を決めるか	数学の前提
式16〜18	MA(k)平滑化・一般分散比・自己相関調整シャープ	剥がした数字を、どこまで信じるか（Ⅺ）	【一】〜【二】
式19	固定標本の検定力	何年観れば腕前を検出できるか——「16年」の正体（Ⅻ）	【三】
式20	逐次確率比検定（SPRT）	毎四半期見ながら、いつ止めるか——解約基準の統計的正体（Ⅻ）	【三】（導出のみ【四】）
式21	ベイズ更新	3年の成績が、選定時の確信をどれだけ動かすか（Ⅻ）	【三】（導出のみ【四】）
式22	偽発見率（BH手順）	20人を同時に監視するとき、誤警報を何人と見込むか（Ⅻ）	【二】
式23〜24	オイラーの定理・期待ショートフォール	リスクの足し算が合う条件と、物差しの品質基準（ⅩⅢ）	【三】（導出のみ【四】）
式25〜26	ブラック・リターマン・制約＝縮小の定理	推定誤差の下で、配分の入力をどう縛るか（ⅩⅣ）	【三】（導出のみ【四】）
式27〜28	キャリーの区分線形・オプション価値	報酬条項の価格と、ボラティリティへの感応度（ⅩⅤ）	【二】（導出のみ【四】）

用語の小辞典・第2 — 本紙を読むための最小限

逐次検定: 標本を全部集めてから一度だけ判定するのではなく、データが届くたびに「継続か、判定か」を決める検定。停止の境界を事前に固定するのが要件。
停止規則: いつ観察をやめて決定するかを、観察を始める前に書いた規則。事後の裁量を封じる装置。
事後分布: 事前の確信（選定時の見立て）を、観測データで更新した後の確信。ベイズ統計の中心概念。
偽発見率（FDR）: 「警報を鳴らした中に、どれだけ空振りが混じるか」の割合。多数を同時に検定するときの誤り管理の物差し。
整合的リスク尺度: リスクの物差しが満たすべき四つの公理（表2）を満たす尺度。満たさない物差しは、分散投資を罰するなどの病理を持ちうる。
期待ショートフォール（ES）: 最悪のα％に落ちたときの損失の平均。VaR（その境界の値）と違い、境界の先の深さまで見る。
縮小推定: データから推定した値を、単純な錨（均衡・平均・構造化行列）の方向へ意図的に引き戻す推定法。推定誤差が大きいとき、引き戻した方が当たる。
オプション価値: 「上がれば取り分、下がれば免除」という非対称な契約の価値。期待値だけでは測れず、ばらつき（ボラティリティ）が大きいほど高くなる。

記号の凡例 — 本紙に現れる記号の読みと意味

μ（ミュー）: 期待リターン（平均）。「真ん中の見込み」。
σ（シグマ）: 標準偏差＝ばらつき。ボラティリティ。
ρ（ロー）: 自己相関。今期の成績と過去の成績の「粘り」。
Φ（大文字ファイ）: 標準正規分布の累積分布関数。「この値以下に収まる確率」を返す関数。Φ(0)＝50%、Φ(−1)≈16%。
z: 標準正規分布の分位点。「上位5%の境界線は1.645」のように、確率を座標に翻訳した値。
α・β（アルファ・ベータ）: 二つの誤り率。α＝誤警報（腕前ゼロを腕前ありと誤る）、β＝見逃し（本物を不合格にする）。※〔数式の読み方〕のα（式9の超過リターン・式1の平滑化速度）とも、〔数式の読み方〕式9のファクター感応度βとも別物である。
T・n: 観測の年数・回数。
IR・TE: 情報比＝超過リターンの平均÷ばらつき（補式3）。TEはその分母、トラッキングエラー。
Λ（大文字ラムダ）: 対数尤度比。積み上がった「証拠の量」（式20）。
E[·]: 期待値。確率で重み付けた平均。
√T・√h: 時間の平方根。「平均は√Tでしか静まらない」の√T。
ln: 自然対数。掛け算の世界を足し算の世界へ写す関数。

論考別紙 Ⅱ剥がした数字の誤差 — 非平滑化の一般理論（式16〜18・数値例2）

この節の問い——剥がした（非平滑化後の）数字は、どこまで信じてよいか。
先に答え——縮み率は重みの二乗和が決め（式17）、シャープレシオは自己相関の分だけ割り引く（式18・Lo補正）——剥がしても、まだ割り引く。

〔数式の読み方〕Ⅱの平滑化モデル（式1）は AR(1)——鑑定の錨が過去の自分に掛かる無限記憶の形——だった。実務のもう一つの標準形は、有限の記憶で書く。ゲトマンスキー、ロー、マカロフがヘッジファンドのリターンに当てはめた移動平均型である。

言葉の版——鑑定の帳簿は、直近数期の真実を混ぜて書く——今期の報告リターンは、今期・前期・前々期の真のリターンの加重平均である。

式16

r^{*}_{t}=\theta_{0}r_{t}+\theta_{1}r_{t-1}+\theta_{2}r_{t-2},\quad \theta_{0}+\theta_{1}+\theta_{2}=1,\ \theta_{i}\ge 0

〔数学の前提　【一】加重平均〕　報告リターン r∗ は、真のリターン r の直近3期の加重平均。重みθの合計が1（長期のリターン総額は保存される）。MA(2)＝記憶2期のモデル。ヘッジファンドの月次はこの次数で足りることが多い（Getmansky–Lo–Makarov）。

〔数式の読み方〕式1のAR(1)は、実は式16の親戚である——αの錨を無限に展開すると θᵢ＝α(1−α)ⁱ の MA(∞) になる。つまり〔数式の読み方〕の式1は「重みが幾何級数で減る」という特殊な形を仮定していた。重みを自由にする一般形は〔数式の読み方〕の式3が既に置いた通りであり、式16はその記憶2期の実用形である——ここでは重みをデータに推定させる。すると分散比の恒等式（〔数式の読み方〕式2）も一般形に置き換わる。

言葉の版——どれだけ均したかが、どれだけ縮んで見えるかを決める——重みを分散させるほど、報告のばらつきは真のばらつきより小さくなる。

式17

\frac{\mathrm{Var}(r^{*})}{\mathrm{Var}(r)}=\theta_{0}^{2}+\theta_{1}^{2}+\theta_{2}^{2}\le 1

〔数学の前提　【二】二乗和と平方根〕　重みの二乗和。均すほど（θが分散するほど）小さくなり、報告ボラは真のボラを下回る。〔数式の読み方〕式2の α/(2−α) はこの式に θᵢ＝α(1−α)ⁱ を代入した特殊形。実効銘柄数（〔数式の読み方〕式12）と同じ「二乗和」の算術が、ここでは時間方向に働いている。

導出

式17はどこから来るか — 交差項の消滅と、〔数式の読み方〕式2への退化

出発点は仮定一つ——真のリターン r は期間ごとに独立（分散σ²）である。

段1（交差項の消滅）　加重平均の分散を展開すると、独立性から共分散の項がすべて落ちる: $Var (r^{*}) = (θ_{0}^{2} + θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2}) σ^{2}$ 。ゆえに分散比＝重みの二乗和——式17。均すほど二乗和は小さくなり、三等分（θ＝1/3ずつ）の1/3が下限である
段2（〔数式の読み方〕式2への退化）　〔数式の読み方〕の式1（AR(1)）は、錨を無限に展開すると重みが幾何級数 θ_i＝α(1−α)ⁱ のMA(∞)。二乗和は等比級数の和で $\sum_{i} θ_{i}^{2} = \frac{α^{2}}{1 - (1 - α)^{2}} = \frac{α}{2 - α}$ ——〔数式の読み方〕の式2が特殊解として戻る。検算: α＝1（平滑化なし）なら1、α＝0.5なら1/3
段3（同じ部品から自己相関も出る）　報告系列に残る自己相関も同じθで書ける: $ρ_{k} (r^{*}) = \frac{\sum_{i} θ_{i} θ_{i + k}}{\sum_{i} θ_{i}^{2}}$ ——分子は「k期ずらして重なる重みの積和」。θを推定すれば、分散比（式17）も自己相関（式18の入力）も同じ部品から出る——数値例2はこの算術をそのまま回している

前提は真のリターンの独立性である。市場ベータのエクスポージャーが残る系列では、その部分の自己相関は市場のものであって平滑化のものではない——剥がす前に、まず引く（〔数式の読み方〕Ⅵ）。

含意を一行で書けば——報告ボラを真のボラに戻す倍率は、重みの二乗和の平方根の逆数である。そしてもう一つ、〔数式の読み方〕で導いた式4（年率化の補正）には、シャープレシオ版の対応物がある。ローが示した、自己相関の下での期間換算の正しい式である。

言葉の版——シャープレシオの期間換算に√12を使ってよいのは自己相関ゼロのときだけ——粘りのある系列は、それより小さくしか増えない。

式18

\mathrm{SR}_{q}=\mathrm{SR}_{1}\times\frac{q}{\sqrt{q+2\sum_{k=1}^{q-1}(q-k)\rho_{k}}}

〔数学の前提　【二】平方根・数列の和〕　1期のシャープレシオを q 期に換算する一般式（Lo 2002）。ρₖ＝0なら√q倍（√12則）。ρₖ＞0なら分母が膨らみ、√q倍は過大評価になる——〔数式の読み方〕式4と同じラグ構造 (q−k)ρₖ が、今度はシャープレシオの分母に現れる。

〔数式の読み方〕の読者は、既視感を覚えるはずである。〔数式の読み方〕式4の導出ボックスに現れた和と、式18の根号の中身は同じものだ。√12則の過大評価は、ボラでもシャープでも、同じ一つの算術から来る——「実効的な独立標本数の平方根が精度を決める」という原理（〔数式の読み方〕式4・10・12・15の束）の、五つ目の顔である。最後に実務の注意を一つ。θもρも推定値であり、推定誤差を持つ。したがって剥がした後のボラ・シャープは点ではなく幅で報告するのが誠実である——「真のボラは約6％」ではなく「5.5〜6.5％程度」。剥がした数字は、剥がす前より正しいが、剥がした瞬間に無誤差になるわけではない。

数値例 2

MA(2)で剥がし、ローの式で年率化する（模式値）

ある私募戦略の四半期リターンに式16を当てはめ、θ＝(0.60, 0.25, 0.15) を得たとする。

分散比（式17）＝0.60²＋0.25²＋0.15²＝0.445。報告ボラは真のボラの √0.445≈0.667倍
報告ボラ（四半期）4.0％ → 真のボラ＝4.0／0.667≈6.0％——1.5倍に化ける
このθが意味する自己相関（導出ボックス・段3の式）: ρ₁＝(0.60×0.25＋0.25×0.15)／0.445＝0.1875／0.445≈0.42・ρ₂＝0.60×0.15／0.445＝0.090／0.445≈0.20（ρ₃以降＝0）
四半期シャープ0.40の年率化: √4則なら 0.40×2＝0.80。式18なら分母＝√(4＋2×(3×0.42＋2×0.20))＝√(4＋3.32)＝√7.32≈2.71、換算倍率＝4／2.71≈1.48 → 年率0.59
√4則の年率0.80は、正しい値0.59の約1.35倍の化粧だった——ボラの過小とシャープの過大は、同じ平滑化の裏表。なお0.59は観測系列の正しい年率化であり、真の系列のシャープ（この例では約0.53）はさらに一段低い——剥がしても、まだ割り引く

模型の差は、どれほど効くか。三つの系がある。AR(1)の〔数式の読み方〕式1、MA(k)の式16、そして観測できない真のリターンを状態として置き、観測式に平滑化を書き込んでカルマンフィルタで逐次推定する状態空間モデル——第三の系である。国内の実務文献が同じPreqin系列に三法を当てた結果では、AR(1)と状態空間の復元系列の相関は0.94（MA(k)との相関は0.80〜0.91）——水準にはやや差があるが、方向の差は小さい（みずほリサーチ＆テクノロジーズ 2025）。配分への含意はパラメータの側に集中する——「重みは手法よりも平滑化係数に敏感である」（Marcato & Key 2007）。検収上の含意は明快である。問うべきは「どの補正を使ったか」よりも「補正を経ているか」であり、次いで「係数はどう決め、どれだけ揺れるか」（〔数式の読み方〕Ⅱ節の四問）である。ただし、一段階の補正には限界がある。似た投資を持つファンド群は共通の擬似自己相関を共有し、ファンド別に剥がしてもその共通成分は残る——残ればシステマティック・リスクは過小に、αは過大に出る（Couts, Gonçalves & Rossi 2024・三段階法）。「剥がす前に、まず引く」の一般形である（共通成分は分離したうえで、その側でも別の重みで剥がす）。

論考別紙 Ⅲ解約の統計的決定理論 — 誤り率・停止・多重性・事後分布（補式3〜4・式19〜22・図1〜2・数値例3〜4）

この節の問い——3年の成績で解約してよいか。
先に答え——それは誤解約率——真に優良な運用者を切ってしまう確率——約30%の制度である（補式4）。誤り率を先に選び、境界を先に書けば（式19〜20・図1〜2）、毎期見てよく、平均の決着はむしろ速い。

本紙の主峰である。伝統資産編第2章（数値例2-1）は、情報比0.5の腕前を統計的に確認するには16年を要すると書いた。オルタナティブ編補遺Dは、警戒基準の誤検知率を二項計算で校正した。本節は、その二つの背後にある決定理論を一続きに導出する——何年かかるのか（式19）、待たずに監視するにはどうするか（式20）、途中の成績は確信をどれだけ動かすか（式21）、大勢を同時に見るとき誤警報を何人と見込むか（式22）。その前に、前提を一つと、道具を二つ、式の形で固定する。前提——本節の算術はすべて、年次の超過リターンが互いに独立で正規に近いことの上に立つ。平滑化された系列をそのまま流してはならない。〔数式の読み方〕Ⅱ節・Ⅱ節で剥がした後の系列だけが、この節の入力である。第一に、本節のすべての式の主役であるIR——情報比——そのものの定義。第二に、「3年不振なら解約」という慣行の誤検知率、伝統資産編第5章が「約30%」と書いた数の算出である（補式3〜4）。

言葉の版——腕前とは、超過リターンの平均を、そのばらつきで割った比である——勝ちの大きさではなく、勝ち方の安定度。

補式3

\mathrm{IR}=\frac{\bar{r}_{p}-\bar{r}_{B}}{\mathrm{TE}},\quad \mathrm{TE}=\sigma(r_{p}-r_{B})

〔数学の前提　【一】割り算〕　情報比（IR）の定義。分子＝対ベンチマーク超過リターンの年率平均、分母＝トラッキングエラー（超過リターンの年率標準偏差）。検証は運用報酬控除後の系列で行い、ベンチマークは版種・通貨まで指定した固有名詞であること（参照点の統治）。以降の式では xₜ＝(r_{p,t}−r_{B,t})／TE と基準化する——xₜは平均IR・ばらつき1の年次系列になる。なおIR自身も推定値であり、その標準誤差はおよそ 1/√T——9年観察しても±0.33。「測って選ぶ」ことの遅さは、定義の段階で既に決まっている。

言葉の版——本物の腕前でも、短い期間では負けて見える——その確率は、腕前と「年数の平方根」の積だけで決まる。

補式4

P(\bar{x}_{T}<0)=\Phi(-\mathrm{IR}\sqrt{T})

〔数学の前提　【三】正規分布のΦ〕　真に情報比IRの腕前を持つ運用者が、T年の平均超過リターンで負けて見える（＝「不振」と分類される）確率。導出は一行——T年平均 x̄ は平均IR・ばらつき1/√Tの正規分布に従うから、ゼロを割る確率はΦ(−IR√T)。IR＝0.3・T＝3 で Φ(−0.3√3)≈30%——「3年不振なら解約」は、真に優良な運用者を約3割の確率で切る基準である（伝統資産編第5章・数値例5-1の算出の正体）。解約基準の設計とは、まずこの誤検知率を選び、選んだ誤り率から境界を書くことにほかならない——固定標本なら式19が年数を、逐次監視なら式20が境界を与える。

言葉の版——何年待てば腕前を見分けられるか——必要年数は、選んだ二つの誤り率の「値段」の和を腕前で割って、二乗した数である。

式19

T^{*}=\frac{(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta})^{2}}{\mathrm{IR}^{2}}

〔数学の前提　【三】正規分布の分位点zと√〕　情報比 IR を有意水準α・検出力 1−β で検出するのに必要な年数。z は標準正規の分位点。IRの二乗が分母——腕前が半分なら、必要年数は4倍。

図1　二つの山と合格ライン（模式図）。左の山＝腕前ゼロの世界、右の山＝腕前IRの世界。どちらもT年平均のばらつき（1/√T）を持つ。合格ラインcを一本引くと、二つの誤りが「面積」として同時に決まる——腕前ゼロが偶然ラインを超える確率α（誤警報）と、本物がラインに届かない確率β（見逃し）。式19は「二つの面積を先に選ぶと、必要な年数が決まる」ことを言っている。

導出

式19はどこから来るか — 検定の設計図を四段で

出発点: 年次超過リターンをトラッキングエラーで割った標準化系列 x_t を考える。情報比の定義（IR＝平均÷ばらつき）から、x_t は平均IR・ばらつき1の系列である。

段1（√T則）　T年の平均 x̄ のばらつきは 1/√T——平均は√Tでしか静まらない。腕前の観測とは、この静まりを待つことである
段2（合格ライン）　「腕前ゼロの運用者が偶然でも確率αでしか超えない」線を引く: c＝z_1−α/√T。α＝2.5％（片側・本編の t≧2 規約と同じ線）なら z＝1.96——線の高さは、選んだ誤警報率の翻訳にすぎない
段3（検出力の条件）　本物（平均IR）がこの線を確率 1−β で超えるには、線が本物の分布の下位β分位より下にあればよい: c ≤ IR−z_1−β/√T。等号で結ぶと $IR \cdot \sqrt{T} = z_{1 - α} + z_{1 - β}$ ——「腕前×待った年数の平方根＝二つの誤り率の値段の和」
段4（組立）　両辺を二乗して T∗＝(z_1−α＋z_1−β)²／IR²——式19。検算: 検出力50％は z_1−β＝0 の緩い基準で T∗＝(1.96/IR)²。伝統資産編の t≧2 規約は1.96を2に丸めた同じ設計図で、IR＝0.5→16年・IR＝0.3→44年

読みは一つ——分母がIRの二乗であることがすべてである。腕前が半分なら、必要な年数は4倍。時間は、腕前の逆二乗でしか買えない。

「16年」の正体はこの式である。IR＝0.5、α＝2.5％（片側・t≧2 と同義）、そして検出力50％——本物の腕前を五分五分でしか検出できない緩い基準——で T∗＝(1.96／0.5)²≈15.4年。もし検出力80％を要求すれば約31年に伸びる（数値例3）。3年での解約判断が統計的に何を意味するかは、この式が一行で言い切っている。だが、ここで止まると「では16年間何もできないのか」という誤読を生む。答えは逐次検定にある。ウォルドが示した通り、データが届くたびに判定する検定は、境界さえ事前に固定すれば誤り率を守ったまま運用できる。

言葉の版——成績が良い期は証拠が積もり、悪い期は削られる。証拠が上の壁に触れたら残し、下の壁に触れたら替える——壁の高さは、選んだ誤り率だけで決まる。

式20

\Lambda_{n}=\mathrm{IR}_{1}\sum_{t=1}^{n}x_{t}-n\frac{\mathrm{IR}_{1}^{2}}{2},\quad B=\ln\tfrac{\beta}{1-\alpha}<\Lambda_{n}<A=\ln\tfrac{1-\beta}{\alpha}

〔数学の前提　本文【三】対数と不等式・導出のみ【四】尤度比〕　SPRT（逐次確率比検定・Wald）。xₜ＝リスク調整済みの年次超過リターン（トラッキングエラーで基準化）、IR₁＝検出したい腕前の水準。対数尤度比 Λₙ が上境界Aを超えたら「腕前あり」、下境界Bを割ったら「腕前なし」と判定し、間にある限り観察を続ける（観察年数に上限を置けば、誤り率の保証は近似になる）。観測を四半期にするなら、x も IR₁ も同じ頻度に揃える——四半期の IR は年次の半分（IR/√4）であり、頻度を混ぜた瞬間に境界の誤り率保証は壊れる。

図2　SPRTの回廊（模式図）。証拠Λは、良い四半期に積もり、悪い四半期に削られながら回廊を歩く。上の壁A＝「腕前あり」で観察終了、下の壁B＝「交代」で観察終了、壁の間は観察続行。壁の高さは選んだ誤り率（α・β）だけで決まる——事前に書かれた解約基準とは、この二本の壁のことである。

この式の実務翻訳が、本書の解約規律の統計部分（伝統資産編第5章の（iii））である。事前に書かれた解約基準とは、逐次検定の境界のことである。毎四半期成績を見てよい——ただし、境界を先に書いた者だけが。境界なしに毎期見て「そろそろ我慢の限界だ」と決めるのは、誤り率を選ばずに検定を乱発することと同じで、ほぼ確実に雑音で解約する（ゴヤル–ワハルの実証の統計的機序）。そしてウォルドの古典的な結果が、この規律に報酬を与える——逐次検定の平均所要年数は、同じ誤り率の固定標本検定のおよそ半分で済む。16年の壁は、境界を事前に書く者には、平均としては半分に縮む（数値例3）。

導出

式20の三つの部品 — 尤度比・境界・平均所要

部品1（尤度比＝証拠の重さ）　仮説は二つ——腕前なし（xの平均0）と、腕前あり（平均IR₁）。1観測が運ぶ証拠は対数尤度比で測る。正規密度の比を取ると指数部の差だけが残り、 $\ln \frac{φ (x - {IR}_{1})}{φ (x)} = {IR}_{1} \cdot x - \frac{{IR}_{1}^{2}}{2}$ 。n期の和が式20のΛₙ——成績が基準線 IR₁/2 を上回るたび証拠が積もり、下回るたび削られる
部品2（境界＝誤り率の翻訳）　「腕前あり」と宣告してよいのは、証拠が「あり」側を (1−β)/α 倍支持したとき——対数で A＝ln((1−β)/α)。「なし」側は B＝ln(β/(1−α))。境界は誤り率α・βだけから決まり、データを見る前に書ける。「境界を先に書く」は比喩ではなく、この二つの対数を内規に書くことである
部品3（平均所要＝ウォルドの等式）　停止までの平均期数は「終点の高さ÷1期の平均の歩幅」。腕前が本物なら、1期の歩幅の期待値は IR₁²/2（二つの仮説を判別する情報が1期に届く平均量）、終点の期待値はほぼ (1−β)A＋βB。ゆえに E[N]≈[(1−β)A＋βB]／(IR₁²/2)
検算（数値例3の第3行の出どころ）　α＝β＝10％: A＝ln 9≈2.20・B＝−2.20 → E[N]＝(0.9×2.20−0.1×2.20)／0.125＝1.76／0.125≈14年——固定標本26年の約半分

第三の道具は、検定の言葉を確信の言葉に替える。選定時の見立て——「この運用者のIRは0.3程度はあるだろう」——を事前分布として明示すれば、その後の成績は事後分布として合成できる。正規の共役更新なら、答えは加重平均の形になる。

言葉の版——事後の見立ては、選定時の見立てと観測成績の加重平均である——重みは、それぞれの「確からしさ」に比例する。

式21

\mathrm{IR}_{\text{post}}=w\cdot\overline{\mathrm{IR}}_{\text{sample}}+(1-w)\cdot\mathrm{IR}_{0},\quad w=\frac{n}{n+n_{0}}

〔数学の前提　本文【三】加重平均・導出のみ【四】共役事前分布〕　事後の見立て＝観測（n年の標本IR）と事前（選定時の IR₀）の加重平均。n₀＝事前の確信の強さを「何年分の観測に相当するか」で表した等価標本年数。ベイズ的なファンド選択の実装は Baks–Metrick–Wachter が先例。

この式が理事会に与えるのは、数字そのものより語彙である。「3年の好成績」は、事前の確信が10年分（n₀＝10）なら重み w＝3/13≈23％しか持たない——選定理由書に書いた確信を、3年の追い風が上書きすることはない。逆に、選定時の確信が薄い（n₀が小さい）なら、同じ3年が大きく効く。成績の意味は、成績だけでは決まらない。選定時に何をどれだけ信じたかを書き残した者だけが、成績を正しく読める——選定理由の文書化（伝統資産編第5章）の、ベイズ統計からの裏書きである。

導出

w＝n/(n＋n₀) はどこから来るか — 確信を年数で測る

段1（事前を年数に翻訳）　選定時の確信「IRは0.3程度」を、n₀年分の観測に相当する強さと言い換える——IR₀を中心に、ばらつき 1/√n₀ の正規分布。強い確信＝大きな n₀。この翻訳が、確信という曖昧な言葉を数にする
段2（観測）　n年の標本平均は、真の腕前を中心に、ばらつき 1/√n（段1と同じ√T則）
段3（精度の足し算）　正規の事前×正規の観測は正規に戻り（共役性）、事後平均は精度——ばらつきの逆二乗、すなわち n₀ と n——で重みを付けた加重平均になる: ${IR}_{事後} = \frac{n \cdot \bar{x} + n_{0} \cdot {IR}_{0}}{n + n_{0}}$ 。重み w＝n/(n＋n₀) は「観測が全情報に占める年数の割合」そのもの
検算　n＝3・n₀＝10 → w＝3/13≈23％——本文の数字。3年の追い風は、10年分の確信の前では四分の一弱の発言権しか持たない

この形は式25（ブラック・リターマン）で再登場する——行列の衣を着ているが、正体は同じ精度加重平均である（Ⅴ節で1資産に落として目視する）。ベイズの答えはいつも同じ形をしている: 確信は精度で測り、精度で混ぜる。

最後の道具は、監視が一人ではなく大勢に向くときの補正である。20人の運用者を有意水準5％で同時に検定すれば、全員に腕前がなくても期待値で1人が「有意」に見える。しかも「どれか1人は有意に見える」確率は 1−0.95²⁰≈64％——幽霊は、ほぼ毎年現れる。多重検定の古典的な処方が、ベンジャミーニ–ホッホバーグの偽発見率（FDR）制御である。

言葉の版——大勢を同時に監視するなら、警報の閾値は一律ではなく順位に比例させる——そうすれば「鳴った警報の中の空振り率」を先に選べる。

式22

k^{*}=\max\{k: p_{(k)}\le \tfrac{k}{m}q\}

〔数学の前提　【二】順位と割合〕　m個のp値を小さい順に並べ（p₍₁₎≤…≤p₍ₘ₎）、この条件を満たす最大のkまで棄却する（Benjamini–Hochberg）。q＝許容する偽発見率。ハーベイ–リュー–ジュが「t値3.0超」を要求した理由（〔数式の読み方〕式9・伝統資産編第1章）と同じ問題意識の、手続き版。

式22の線 (k/m)q の設計は、一行で言える——順位に比例したハードルである。最上位のp値には最も厳しい線（q/m）を、最下位には素朴基準と同じ緩さ（q）を課す。腕前が誰にもなければp値は0と1の間に一様にばらまかれるから、この傾きの線を下から破って並ぶことは偶然には起きにくい。そしてこの線で拾われた集合は、「その中に混じる空振りの割合」の期待値がq以下に収まる——「個々の検定の誤警報率」ではなく「警報リスト全体の空振り率」を管理する。これがFDRという発想の転換であり、警報が毎期届く委員会にとって、管理すべき量はまさに後者である。

実務翻訳。候補リストの中で「最も成績の良い1人」は、選択そのものによって既に多重検定を通過してきた者であり、そのt値・IRは割り引いて読む。委託先が20あり、四半期レビューで毎回20本の検定を回しているなら、警報の期待空振り数を先に書いておく——「年1回検定なら、年に1人程度の誤警報は設計値である」と。誤警報の数を設計値として先に書くことが、警報が鳴るたびに動揺する委員会と、警報を無視し始める委員会の、両方を防ぐ。

数値例 3

16年・31年・そして約半分 — 固定標本と逐次検定（模式値）

IR＝0.5・α＝2.5％（片側）・検出力50％: T∗＝(1.96／0.5)²≈15.4年——「16年の壁」の導出
検出力80％を要求: T∗＝((1.96＋0.84)／0.5)²＝(2.80)²／0.25≈31.4年——真面目な検出力は年数を倍にする
SPRT（α＝β＝10％）: 境界A＝ln 9≈2.20・B＝−2.20。腕前が本物（IR＝0.5）のときの平均所要年数≈(0.9×2.20−0.1×2.20)／(0.5²／2)＝約14年——腕前ゼロの側も対称で約14年（その間は報酬を払い続ける）
同じ誤り率の固定標本は (1.28＋1.28)²／0.25≈26年——逐次は平均で約半分（14／26≈0.53）

数値例 4

20人の委託先と、1人の幽霊 — 多重性の算術（模式値）

全員に腕前がない20人をα＝5％で毎年検定 → 期待偽陽性＝20×0.05＝1.0人——毎年ほぼ確実に誰かが「有意な腕前」に見える
「どれか1人は有意」の確率＝1−0.95²⁰≈64％——警報ゼロの年のほうが珍しい
ある年のp値（昇順の上位3人）: 0.001・0.020・0.040。素朴な5％基準なら3人を「本物」と判定
BH（q＝5％・m＝20）の境界: k／m×q＝0.0025・0.0050・0.0075…。0.001≤0.0025 ✓、0.020＞0.0050 ✗ → 棄却は1人だけ
素朴な検定の「本物3人」のうち2人は、多重性が製造した幽霊である蓋然性が高い

論考別紙 Ⅳ物差しの公理 — オイラー配分と整合的リスク尺度（式23〜24・表2・数値例5）

この節の問い——リスクの「足し算」はいつ合うのか。物差しの良し悪しは、何で判定するのか。
先に答え——規模に比例する物差しなら寄与の和が全体に一致し（式23・オイラー）、四つの公理（表2）を満たす物差し——ES——だけが、分散投資を正しく褒める（式24）。

〔数式の読み方〕Ⅶは「リスクの足し算が厳密に合う」ことを使った（〔数式の読み方〕式11）。本節は、なぜ合うのかを証明し、そもそもリスクの物差しが満たすべき品質基準は何か、という一段深い問いに答える。

言葉の版——リスクの全体は、各資産の「限界的な効き目×持ち高」の和に、ぴったり分解できる——物差しが規模に比例するときに限って。

式23

\rho(\lambda w)=\lambda\rho(w)\ \Rightarrow\ \rho(w)=\sum_{i}w_{i}\frac{\partial\rho}{\partial w_{i}}

〔数学の前提　本文【三】期待値・導出のみ【四】偏微分〕　一次同次（ポートフォリオをλ倍すればリスクもλ倍）な尺度は、限界寄与の加重和に厳密に分解できる——オイラーの定理。

導出

オイラーの三行と、σでの検算

段1（微分）　恒等式 ρ(λw)＝λρ(w) の両辺をλで微分する。左辺は連鎖律で $\sum_{i} w_{i} \frac{\partial ρ}{\partial w_{i}}$ （点λwで評価）、右辺は ρ(w)
段2（λ＝1）　λ＝1と置けば ρ(w)＝Σᵢwᵢ·∂ρ／∂wᵢ——式23。使ったのは同次性と、微分できることだけで、リターンの分布の仮定はどこにも要らない
段3（σで目視）　ρ＝σ_P＝√(w′Σw) なら、微分して ∂σ_P／∂wᵢ＝(Σw)ᵢ／σ_P。加重和は $\sum_{i} w_{i} \frac{(Σ w)_{i}}{σ_{P}} = \frac{w^{'} Σ w}{σ_{P}} = σ_{P}$ ✓——〔数式の読み方〕・式11「リスク寄与度の合計は全体に厳密に一致する」の、これが証明である

リスク寄与度の合計が全体に一致するのは、便利な近似ではなく、同次性という性質の数学的帰結である——σも、トラッキングエラーも、VaRもESも一次同次であり、損失分布が滑らかな限り、どれもオイラー分解できる。タッシェはさらに、成果評価（RORAC）と整合する配分はオイラー配分に限られることを示した——「この分け方でよいのか」への理論の答えは、既に一意である。

では、物差し自体の品質はどう測るか。アルツナーらの整合的リスク尺度の公理系が、その検収基準である（表2）。

表2　整合的リスク尺度の四公理 — 物差しの検収基準（Artzner et al.）
公理	形式	実務語訳
単調性	常に損失が大きい方が、リスクも大きい	悪い資産を良いと言わない
劣加法性	ρ(X＋Y) ≤ ρ(X)＋ρ(Y)	分散投資を罰しない——合算してリスクが増える物差しは壊れている
正同次性	ρ(λX)＝λρ(X)	規模を倍にすればリスクも倍（オイラー分解の前提）
平行移動不変性	現金cを足すとリスクはc減る	キャッシュはリスクをそのまま減らす

言葉の版——物差しの合格基準は四つの公理である——この四つを通らない物差しは、どこかで分散投資を罰する。

式24

\mathrm{ES}_{\alpha}=E[L\mid L\ge \mathrm{VaR}_{\alpha}]

〔数学の前提　【三】期待値と分位点〕　期待ショートフォール＝最悪α％に落ちたときの損失の平均。この等式は損失分布が滑らかな場合の形であり、離散の場合は「最悪α％の平均」を直接とる——数値例5の計算がその形である。VaRは「崖の縁の高さ」、ESは「崖の下の深さの平均」。ESは、この平均としての定義で、四公理をすべて満たす。VaRは劣加法性を満たさない（数値例5）。

VaRが劣加法性を破る——分散投資でかえって「リスク」が増える——ことは、作り話ではなく数行の算術で示せる（数値例5）。低確率・大損失の資産では、VaRは損失を「見なかったこと」にできるからである。ガードを一つ。この公理系は物差しの品質基準であって、「明日からESを導入せよ」という処方ではない。伝統的なσとリスク寄与度で統治が回っている機関は、それで足りる場面が多い。公理が実務で効くのは、新しい物差しの採否を審査するとき——「その指標は分散投資を罰しないか。足し算が合うか。現金を正しく扱うか」という検収の質問リストとして、である。

数値例 5

VaRが分散投資を罰する日 — 劣加法性の破れ（模式値）

互いに独立な社債AとB。各々、確率4％で100の損失、96％で損失ゼロとする。

単独の95％VaR: 損失100の確率は4％＜5％なので、VaR＝0——「95％の日は無傷」と物差しは言う
両方を持つ: どちらかが倒れる確率＝1−0.96²＝7.84％＞5％ → 合算のVaR＝100
VaR(A＋B)＝100 ＞ VaR(A)＋VaR(B)＝0——分散した瞬間に、リスクが無から生えた。劣加法性の破れ
ESは「最悪5％の平均」——単独: 最悪5％の中身は〔4％の確率で損失100〕＋〔残り1％分は損失0〕→ ES＝(0.04×100＋0.01×0)／0.05＝80
合算: 最悪5％の中身は〔0.16％で両方倒れ・損失200〕＋〔片方倒れは7.68％あるが、うち4.84％分だけが最悪5％に入る・損失100〕→ ES＝(0.0016×200＋0.0484×100)／0.05＝103.2 ≤ 80＋80＝160 ✓——ESは崖の下を最初から見ているので、破れない

論考別紙 Ⅴ入力の誤差 — 推定誤差とロバスト配分（式25〜26・図3・数値例6）

この節の問い——推定誤差だらけの期待リターンで、配分を最適化してよいか。
先に答え——錨に引き戻してからにする（式25・BL・図3）。そして制約だらけの配分は笑われない——制約は縮小推定の実装である（式26）。

論考別紙〔ファクターという言語〕Ⅸは、モデルスタックの「弱点は頂点にある」——期待リターンの推定誤差が最大のモデルリスクである——と診断し、機関実務の五つの型（単純な錨・最上段の非最適化ほか）を記述した。本節は、その診断と処方の数理的正体である。チョプラとジエンバの古典的な計測によれば、配分を狂わせる度合いは、期待リターンの誤差が分散の誤差の約11倍、共分散の誤差の約21倍——誤差は、最上段が支配する。ならば処方は二つしかない。推定を錨に引き戻すか（縮小）、推定を使う自由を縛るか（制約）。二つの代表式が、どちらも「縮小推定」という同じ一つの操作であることを示す。

言葉の版——市場均衡という錨に、自分の見解を「自信の分だけ」混ぜる——自信がないほど、答えは錨の近くに留まる。

式25

\mu_{BL}=[(\tau\Sigma)^{-1}+P'\Omega^{-1}P]^{-1}[(\tau\Sigma)^{-1}\Pi+P'\Omega^{-1}Q]

〔数学の前提　本文【三】精度加重平均・導出のみ【四】行列〕　ブラック・リターマン。Π＝市場均衡が示唆する期待リターン（事前）、Q＝自分の見解、Ω＝見解の自信のなさ、τ＝錨の緩さ。出力は両者の精度加重平均。

行列の見かけに反して、式25の正体は式21と同じである——精度で重みを付けた、錨と見解の加重平均。市場均衡Πが事前分布、自分の見解Qが観測、そして自信のない見解（Ωが大きい）は自動的に軽く扱われる。「均衡という錨」がなぜ効くかの答えは、ベイズの定理そのものである。見解を一つも持たなければ出力は均衡＝市場ポートフォリオに一致し、確信のある見解だけが、その分だけ配分を動かす。錨は保守主義ではない。推定誤差の統計的に正しい値付けである。

導出

式25を1資産に落とす — 式21と同じ顔を目視する（模式値）

資産1つ・見解1つなら、式25の行列はすべてただの数になり、 $μ_{BL} = \frac{Π / τ σ^{2} + Q / Ω}{1 / τ σ^{2} + 1 / Ω}$ ——錨と見解の精度加重平均。式21と同じ形である。

設定　錨（市場均衡）Π＝4％・錨のばらつき √(τσ²)＝2％。見解 Q＝6％・見解のばらつき √Ω＝2％（錨と同等の自信）
対等の自信　精度は 1/0.02²＝2,500 対 2,500 で対等 → μ_BL＝(4＋6)/2＝5.0％——ちょうど中間
自信の値段　見解のばらつきを2倍（√Ω＝4％）と申告する → 精度は1/4の625 → μ_BL＝(2500×4＋625×6)/3125＝4.4％。見解の重みは50％→20％、押し上げ幅は＋1.0％pt→＋0.4％ptに縮む
検算　見解を持たなければ（Ω→∞・精度ゼロ）μ_BL＝Π＝4.0％——出力は市場均衡に戻る。ばらつきの申告が、見解の発言権を決める

言葉の版——空売り禁止や上限の「縛り」を入れた最適化は、共分散行列を縮めた最適化と同じ答えを返す——制約は無知の告白ではなく、縮小推定の実装である。

式26

\tilde{\Sigma}=\Sigma-(\delta 1'+1\delta'),\quad w^{\text{constrained}}(\Sigma)=w^{\text{unconstrained}}(\tilde{\Sigma})

〔数学の前提　本文【三】・導出のみ【四】ラグランジュ乗数〕　ジャガナサン–マーの定理。空売り禁止つきの最小分散ポートフォリオは、共分散行列を縮めた（δ＝制約のラグランジュ乗数）行列の無制約解と厳密に一致する。

図3　縮小の絵（模式図）。データだけから推定した期待リターン（上段）は大きく散らばるが、散らばりの大半は腕前ではなく推定誤差である。錨（市場均衡・全体平均）へ一定割合だけ引き戻したもの（下段）が縮小推定であり、BL（式25）は「見解の自信のなさ」の形で、制約付き最適化（式26）は「縛り」の形で、同じ引き戻しを実装する。

定理の骨は、一階条件の照合である。空売り禁止つき最小分散の最適条件では、保有している資産の限界リスク (Σw)ᵢ は共通の値に揃い、ゼロに張り付いた資産だけがそれを超過する——その超過分が δᵢ（制約の影の価格）である。この δᵢ を行列の側へ移し替えると、束縛が効いた資産の行と列だけが δᵢ ずつ削られた Σ̃ の無制約一階条件と、同じ式になる——数値例6が2資産で目視する通りである。

この定理の含意は、実務の直観を逆転させる。制約は、無知の告白ではない。縮小推定の実装である。「空売り禁止」「上限10％」といった素朴な縛りは、最適化理論の目には美しくないが、統計の目には共分散行列の極端な推定値を自動的に刈り込む縮小操作として映る——制約だらけの実務家の配分が、制約なしの「最適」化を実データでしばしば打ち負かす（ジャガナサン–マー、そしてドミゲルらの 1/N の結果）のは、この機序による。レドイ–ウルフの縮小共分散——標本行列と構造化された錨の凸結合 Σ_LW＝δF＋(1−δ)S——も、同じ思想の直接実装である。

ガードを、節の結論として明記する。本節は配分機械の製作術ではない。伝統資産編第13章末の注記——TPAの最上段は教科書像であり、買うべきは配分を代行する機械ではなく計測の言語と統治の設計である——と同じ結論に、本節は数理の側から着く。式25と式26が示すのは、洗練の最終形が「良い推定」ではなく「賢い縛り」だということである。単純な錨・最上段の非最適化・制約——機関実務の型（ファクター巻Ⅸ）は、理論からの逃避ではなく、推定誤差の統計学が推奨する解そのものである。

数値例 6

制約が縮小である瞬間 — 2資産でジャガナサン–マーを目視する（模式値）

σ₁＝20％・σ₂＝30％・相関0.833（共分散行列の成分: 0.04・0.05／0.05・0.09）の2資産で最小分散を組む。

無制約の最小分散: w＝(1.33, −0.33)——資産2を33％空売りせよ、と言う
空売り禁止の解: w＝(1, 0)。このとき資産2の制約の影の価格（ラグランジュ乗数）δ₂＝0.05−0.04＝0.01
式26の縮小行列の成分: 0.04・0.04／0.04・0.07——共分散は0.05→0.04へ、σ₂²も0.09→0.07へ刈り込まれた
縮小行列の無制約最小分散を解くと w＝(1, 0)——制約付きの解と厳密に一致 ✓
読み: 「空売り禁止」は、相関0.833という極端な推定値を信じるな、という縮小推定を暗黙に実行していた

論考別紙 Ⅵ契約の再計算 — フィーのオプション価値と、本紙の結び（式27〜28・図4・数値例7）

この節の問い——報酬条項一つに、いくらの値札がつくのか。
先に答え——キャッチアップ一つで50億円（数値例7）。条項の価格は期待値では見えず、ばらつきで膨らむ（式28・図4）——キャリーは、ばらつきの買い持ちである。

論考別紙〔報酬という憲法〕は「再計算できない報酬は、監督されていない報酬である」と書き、数値例で条項一つの価格（キャッチアップ＝50億円）を電卓で出した。本節は、その再計算に道具を一段足す——報酬条項は、オプションとして読む。

言葉の版——ハードルを超えるまでは取り分ゼロ、超えたら取り分——報酬は利益の比例ではなく、折れ線である。

式27

C_{\mathrm{hard}}(P)=c\cdot\max(P-H,0),\quad C_{\mathrm{CU}}(P)=c\cdot P\ (P\ge P^{*}=\tfrac{H}{1-c})

〔数学の前提　【二】場合分けの一次式〕　P＝ファンド利益、H＝優先収益（ハードル）の累計、c＝キャリー料率。ハード・ハードルは「超過分のc」、100％キャッチアップは追いつき完了点 P∗＝H／(1−c) を超えると「全利益のc」になる。部分キャッチアップ（レートr）の一般形 P∗＝H＋cH／(r−c) は導出ボックスに——r＝cでハード・ハードルに一致する。

式27は、キャリーがコールオプションのポートフォリオであることを言っている。ハード・ハードル型は行使価格Hのコール。キャッチアップ型は、そこに「HからP∗までの区間で傾きの急なコール・スプレッド」を重ねたもの——だからP∗を超えた世界では、ハードルは取り分を1円も減らさない（報酬という憲法・〔数式の読み方〕数値例1の関数版）。そしてオプションと呼んだ瞬間に、オプション理論の中心的な事実が輸入される——オプションの価値は、ばらつきの増加関数である。

導出

P∗＝H/(1−c) はどこから来るか — 分配の滝を三段で

段1（優先収益）　利益はまずLPへ——累計がHに達するまで、GPの取り分はゼロ。ここまでは「ハードルが守っている」ように見える
段2（キャッチアップ）　次の利益はGPへ100％入る。終わるのは「GPの累計が、分配済み利益全体のc倍に追いついたとき」。追いつき分をGと置くと $G = c (H + G) \Rightarrow G = \frac{c H}{1 - c}$
段3（完了点）　完了時の総利益は P∗＝H＋G＝H/(1−c)。以後の利益は (1−c):c で分けられ、GPの累計は常に全体のc倍——ハードルの痕跡は、ここで消える
検算（数値例7の値）　H＝250億円・c＝20％ → G＝0.2×250/0.8＝62.5億円・P∗＝250＋62.5＝312.5億円。利益がP∗を超えるファンドでは、ハードル条項はGPの取り分を1円も減らしていない
一般形（部分キャッチアップ）　実務の契約には、段2の分配をGP:LP＝r:(1−r)で割る中間形（80％・50％型）がある。同じ立式 $r G = c (H + G) \Rightarrow G = \frac{c H}{r - c}$ で、r＝1は上の式に退化し、r→c でGは発散する——r＝cはハード・ハードルと同値である（区間内の分け方が段3と同じc:(1−c)になるため）。検算: r＝0.8でG＝50/0.6≈83.3億円（P∗≈333.3億円）・r＝0.5でG＝166.7億円（P∗≈416.7億円）——数値例7のファンド（P＝700億円）ではいずれも完了点を超え、キャリーは140億円のまま。レートが取り分を動かすのは利益が区間内で終わる場合だけで、そのとき C_CU＝r·(P−H)（P＝300億円なら r＝1で50億円・0.8で40億円・ハード・ハードルで10億円）

言葉の版——折れ線の価値は、平均のシナリオでは測れない——同じ期待リターンでも、ばらつきが大きいほど「上振れの取り分」の期待は膨らむ。

式28

E[\max(V-K,0)]=E[V]\cdot\Phi(d_{1})-K\cdot\Phi(d_{2}),\quad d_{1}=\frac{\ln(E[V]/K)+\sigma^{2}/2}{\sigma},\ d_{2}=d_{1}-\sigma

〔数学の前提　本文【二】グラフの読み・導出のみ【四】対数正規〕　分配総額Vが対数正規（総ばらつきσ）のときのコールの期待値。割引や複製ではなく「条項の期待コストを桁で知る」ための無割引の期待値版で、実務の検算にはこれで足りる。Φは標準正規の累積分布（〔数式の読み方〕式14と同じ）。

図4　条項はオプションである（模式図・数値例7と同値）。左＝キャリーの折れ線: ハードル（250億円）までは取り分ゼロ、超えた分の20%——下がっても返さない非対称。右＝その折れ線の期待値はばらつきσの増加関数: 期待リターンを一定に保ったまま σ＝0→0.4→0.8 とすると、取り分の期待は80→90→121億円へ膨らむ（式28）。条項の価格は、期待値では見えない。

式28は、二つの項に分けて読む。第2項の Φ(d₂) は「分配がKを超えて終わる確率」（対数正規版）であり、第1項の E[V]·Φ(d₁) は「Kを超えた世界で受け取るVの期待額」である。d₁ が d₂ よりσだけ大きいのは、Vの大きい経路ほど「超える」側に大きな金額で寄与するから——確率を金額で重み付けし直すと、分位点がσだけ右へずれる。ブラック–ショールズの割引と複製の議論は、ここでは要らない——条項の期待コストの桁を知る検算には、この無割引の期待値で足りる（割引と流動性・成功時支払いのタイミングを織り込む精密版は、条項の価格をさらに動かすが、桁は動かさない）。

この二式から、監督上の帰結が三つ出る。第一に、条項の価格は、期待値では見えない。オプションとして見て、初めて見える。「平均的なシナリオではこの条項は効かない」という説明は、オプションの価値が平均の外——ばらつき——に宿ることを見落としている。第二に、キャリーの価値はボラティリティの増加関数である（数値例7）。同じ期待リターンなら、GPはばらつきの大きい運用からより多くを受け取る——報酬契約そのものが、リスク選好への感応度を内蔵している。クローバック・エスクロ・欧州型ウォーターフォール（報酬という憲法）は、この感応度への契約側の解毒剤として読める。第三に、メトリック–ヤスダの実証が示した通り、2/20の現在価値を分解すると過半は成績と無関係な固定側（管理報酬）にある——「腕前への支払い」という看板と中身の乖離は、オプション評価をして初めて金額になる。

数値例 7

50億円の再導出と、ばらつきの値段 — 条項をオプションとして読む（模式値）

前半は報酬という憲法・〔数式の読み方〕数値例1と同じファンド（利益P＝700億円・優先収益H＝250億円・c＝20％）を、式27で読み直す。

キャッチアップ完了点: P∗＝250／(1−0.2)＝312.5億円。P＝700 ≥ P∗ なので C_CU＝0.2×700＝140億円
ハード・ハードル: C_ハード＝0.2×(700−250)＝90億円。差＝50億円——同じ答えに、関数の道から着いた ✓
後半はばらつきの値段。元本K＝1,000億円・期待分配 E[V]＝1,400億円（期待利益400億円）のシンプルなキャリー（c＝20％・ハードルなし）を式28で評価する
ばらつきゼロなら: 0.2×400＝80億円（本源的価値）
σ＝0.4: ln(1400/1000)＝0.336 → d₁＝(0.336＋0.08)/0.4≈1.04・d₂＝0.64 → Φ＝0.851・0.739 → C＝0.2×(1400×0.851−1000×0.739)＝0.2×(1191−739)＝0.2×452≈90億円
σ＝0.8: d₁＝(0.336＋0.32)/0.8≈0.82・d₂＝0.02 → Φ＝0.794・0.508 → C＝0.2×(1112−508)＝0.2×603≈121億円
期待リターンは一定のまま、ばらつきをゼロから0.8へ上げるとGPの取り分は80→121億円へ半分増える（0.4→0.8の倍化では90→121億円）——キャリーは、ばらつきの買い持ちである

本紙を閉じる。十三の式に共通する形を、もう一度だけ言う。誤り率を選ぶ（式19・22）。境界を先に書く（式20）。確信を先に書き残す（式21）。物差しを先に検収する（式23〜24・表2）。入力を先に縛る（式25〜26）。条項を先に値付けする（式27〜28）。すべて、事後の裁量を事前の規律に変える式である。〔数式の読み方〕の結びは「式を疑う自由」を掲げた。本紙の結びは、その対である——疑う自由は、決める規律とセットで、初めて完成する。境界も誤り率も値札も先に書いた者だけが、鳴った警報を疑い、鳴らない警報を待ち、そして解約の朝に、決定ではなく執行だけをすることができる。

論考別紙参考文献

本欄は第1.2版（2026年10月）で新設した。それまで本紙の書誌は資料別紙〔文献解題〕へ統合していたが、解題は姓と年で引く読書案内であり、誌名・巻号を持つ書誌の完全形は各巻の欄が正典である（本書の文献規約）。書誌は〔検証の記録〕の確認記録と CrossRef で照合した。

Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., & Heath, D. (1999). Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance, 9(3), 203–228.
Baks, K. P., Metrick, A., & Wachter, J. (2001). Should Investors Avoid All Actively Managed Mutual Funds? A Study in Bayesian Performance Evaluation. Journal of Finance, 56(1), 45–85.
Benjamini, Y., & Hochberg, Y. (1995). Controlling the False Discovery Rate: A Practical and Powerful Approach to Multiple Testing. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 57(1), 289–300.
Couts, S. J., Gonçalves, A. S., & Rossi, A. (2024). Unsmoothing Returns of Illiquid Funds. Review of Financial Studies, 37(7), 2110–2155.
Ledoit, O., & Wolf, M. (2003). Improved estimation of the covariance matrix of stock returns with an application to portfolio selection. Journal of Empirical Finance, 10(5), 603–621.
Ledoit, O., & Wolf, M. (2004). A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices. Journal of Multivariate Analysis, 88(2), 365–411.
Lo, A. W. (2002). The Statistics of Sharpe Ratios. Financial Analysts Journal, 58(4), 36–52.
Marcato, G., & Key, T. (2007). Smoothing and Implications for Asset Allocation Choices. Journal of Portfolio Management, 33(5), 85–99.
Metrick, A., & Yasuda, A. (2010). The Economics of Private Equity Funds. Review of Financial Studies, 23(6), 2303–2341.
Tasche, D. (1999). Risk Contributions and Performance Measurement. Working paper, TU München.／(2008). Capital Allocation to Business Units and Sub-Portfolios: the Euler Principle. In A. Resti (Ed.), Pillar II in the New Basel Accord (pp. 423–453). Risk Books.
Wald, A. (1945). Sequential Tests of Statistical Hypotheses. Annals of Mathematical Statistics, 16(2), 117–186.／(1947). Sequential Analysis. Wiley.
みずほリサーチ＆テクノロジーズ年金コンサルティング部（2025）「大学資産運用におけるオルタナティブ資産のリスク評価——非平滑化手法とその実務的意義」（2025年9月3日）.