Working Essay · Institutional Investment Series

論考別紙 · 第3.1版

数式の読み方

論考別紙　本編十五式の、概念による解剖 — 剥がす式・訳す式

性格　論考別紙（考える紙）第6号。本編・統合各章・補遺には一切手を加えず、そこに登場する十五の式だけを取り出して、一つずつ概念から解剖する——「何を言っているか」「なぜこの形か」「どこに落とし穴があるか」を、加減乗除の予備知識だけで読める形で書く。第2.0版から第2.10版まで第Ⅱ部として抱えていた「導出と決定」（決める式の十三式）は、第3.0版で論考別紙〔決める式〕（第30号）へ独立させた。本紙は「読む」巻、第30号は「決める」巻である
凡例　本紙の式はすべて本編から転載（式10〜13は本文中の式のブロック化。補式と推定誤差の二式を除く——その係留は検証の記録に依る）であり、原典係留は本編の当該章に依る。式番号は1〜15で、〔決める式〕の式16〜28がこれに続く。数値例はすべて模式値で、制作リポジトリのテストが機械検算している
読む順　どの節も独立に読める。表1（十五式の一覧と本編の住所）から必要な式へ飛ぶ引き方と、Ⅱ→Ⅸを通読して「剥がす式と訳す式」という骨格を得る読み方の、両方に耐えるよう作った
版　第3.1版（巻末に参考文献欄を新設（書誌の完全形・内容不変）。前版3.0）· 2026年10月

工、其の事を善くせんと欲すれば、必ず先ず其の器を利くす。

—『論語』衛霊公

本紙の使い方

本編で式を飛ばした読者のための巻です。式に苦手意識があるなら、Ⅱ節の式1（評価額は真値と過去の混合である）と数値例1だけ読んでください——本書の数式思想の半分は、そこにあります。決め句は一行です——式を恐れる者は式に騙される。式を読める者だけが、式を疑える。

本紙は「読む」巻です。一段だけ深く、式で「決める」ところまで進むなら、論考別紙〔決める式〕（第30号）へ——第2.10版まで本紙の第Ⅱ部だったものを、独立の巻にしました。式番号は本紙の十五式に続きます。

論考別紙

数式の読み方 — 本編十五式の、概念による解剖

式は、縮めた文章である。読めない式は飛ばしてよい、と本編は言った。本紙は、飛ばした読者が戻ってくるための道である。

論考別紙 Ⅰ読み方 — 式は縮めた文章である

本編と統合各章には、あわせて十五の式が現れる。多くはない——本書は数式の本ではなく、どの式も、飛ばしても論旨を追えるように書かれている。だが飛ばしたままでは、二つのものが手に入らない。第一に検算の力。本書は「主張を信じるのではなく、検算せよ」と繰り返すが、検算の入口は式である。第二に疑う力。運用者の資料にも、コンサルタントの提案書にも、これらの式は（しばしば説明なしに）現れる。式を読める者だけが、式の前提を問える。本紙は、本編の本文と補遺には一切手を加えず、登場する式だけを取り出して、一つずつ概念から解剖する——各式について「何を言っているか」「なぜこの形か」「どこに落とし穴があるか」を書く。数学の予備知識は、加減乗除と「平方根は伸びを抑える」という感覚だけでよい。

表1　十五式の一覧と、本編の住所
式	名前	一言でいえば	本編の住所
式1	鑑定平滑化	評価額は真値と過去の混合である	オルタナ編第1章
式2	非平滑化（デスムージング）	混合を逆算して真値を取り戻す	オルタナ編第1章
式3	GLM移動平均	観測リターンは真のリターンの数期平均	オルタナ編第1章
式4	自己相関補正シャープ	粘るリターンは√12則で年率化できない	オルタナ編第1章
式5	KS-PME	指数に入れた対抗馬との倍率比	オルタナ編第2章
式6	ペーシングモデル	コールと分配の将来経路の機械	オルタナ編第3章・補遺C
式7	期待信用損失	貸倒れ確率×毀損率	オルタナ編第14章
式8	キャップレート	不動産の値段は収益÷利回りである	オルタナ編第15章
式9	ファクター回帰	アルファは引き算の残りである	伝統資産編第1章
式10	基本法則（IRの法則）	腕前×√機会数×移転係数	伝統資産編第5章・第6章
式11	リスク寄与度	リスクは足し算に分解できる	伝統資産編第8章
式12	実効銘柄数	分散の実質は名目本数より少ない	伝統資産編第8章
式13	DTS	クレジットのリスクはスプレッドに比例する	伝統資産編第17章
式14	赤字の確率	単年度赤字37%は設計の帰結である	統合本章第2章
式15	時間の平方根	時間は平均のリスクを痩せさせる	統合本章第2章

論考別紙 Ⅱ平滑化の数学 — 見かけの静けさを剥がす（式1〜4）

私募資産の評価額は鑑定に基づく。鑑定人は、新しい市場情報を一度に全部は反映しない——係争を避け、根拠を固め、前回の評価に錨を下ろす。この行動を一行に縮めたのが式1である。

式1

V^{*}_{t}=\alpha V_{t}+(1-\alpha)\,V^{*}_{t-1}\qquad(0<\alpha\le 1)

α（アルファ）は「新情報をどれだけ取り込むか」を表す調整速度。α＝1なら平滑化なし（毎期、真の価値をそのまま反映）。α＝0.4なら、新情報の4割しか今期に反映せず、残り6割は過去の評価を引きずる。

何を言っているか。今期の評価額 V*_t は、真の価値 V_t をα、前回の評価額 V*_t−1 を（1−α）の重みで混ぜたものだ、という仮説である。αは「更新の速さ」——α=1なら評価は真値そのもの、α=0.5なら新情報の半分しか反映されない。なぜこの形か。この単純な混合が、観測されるリターンの三つの病理——変動の過小、自己相関（前期のリターンで今期がある程度当たる）、市場との相関の過小——を同時に説明するからである。リターンで書けば、観測リターンの分散は真の分散の $\frac{α}{2 - α}$ 倍に縮む。α=0.5なら3分の1——見かけのボラティリティは真の6割弱しかない（数値例1）。私募が「安定して見える」ことの正体が、この一行にある。

式2

r_{t}=\frac{r^{*}_{t}-(1-\alpha)\,r^{*}_{t-1}}{\alpha}

α は報告リターンの一階自己相関 ρ₁ から推定できる（単純なAR(1)近似では α ≈ 1 − ρ₁）。この補正で、真のボラティリティは概ね次の倍率で拡大する：σ_真 ≈ σ_報告 × √[(1+ρ₁)/(1−ρ₁)]

式2は式1の逆算である。混合の規則が分かっているなら、観測系列 r* から真の系列 r を機械的に取り戻せる——分子は「今期の観測から、前期の残響を差し引く」、分母のαは「縮んだ振幅を元の大きさに戻す」。落とし穴。第一に、αは推定量であり、推定を誤れば復元も誤る（推定はリターンの自己相関から行う——オルタナ編第1章）。第二に、この逆変換はノイズも同じ倍率で増幅する。第三に、αは危機に動く——市況が壊れた四半期には鑑定の錨が強まり（αが下がり）、最も知りたい瞬間に最も歪む。

ここで、本編第1章と補遺Aが文字で書いている推定の中身を、式で開いておく（補式1）。αはどう測るのか。補正でボラティリティは何倍になるのか。

補式1

\alpha\approx 1-\rho_{1},\quad\sigma_{\text{真}}\approx\sigma_{\text{報告}}\times\sqrt{\frac{1+\rho_{1}}{1-\rho_{1}}}

なぜ α≈1−ρ₁ か。式1をリターンの言葉に直すと $r_{t}^{*} = α r_{t} + (1 - α) r_{t - 1}^{*}$ ——観測リターンが「自分の前期の値」に係数(1−α)で依存する、AR(1)（一次の自己回帰）過程である（真のリターン自身には自己相関がない、という近似の下で）。そしてAR(1)過程の一階自己相関 ρ₁ は、その係数そのものに等しい——自己回帰の定義から一行で出る性質である。ゆえに ρ₁＝1−α、裏返して α＝1−ρ₁。観測できない「鑑定の錨の重さ」が、観測できる「リターンの粘り」から読める——この読み替えがAR(1)近似の全てであり、補遺Aの手順が自己相関の計測から始まる理由である。

なぜ $\sqrt{\frac{1 + ρ_{1}}{1 - ρ_{1}}}$ か。式1の平滑化は、過去の真のリターンを幾何級数の重み α, α(1−α), α(1−α)², … で混ぜ続ける。分散は重みの二乗和に比例するから、観測分散は真の分散の $α^{2} [1 + {(1 - α)}^{2} + {(1 - α)}^{4} + \dots] = \frac{α}{2 - α}$ 倍——数値例1で使った分散比そのものである。ここに α＝1−ρ₁ を代入すると $\frac{α}{2 - α} = \frac{1 - ρ_{1}}{1 + ρ_{1}}$ 。逆数の平方根を取れば、真のボラティリティは報告値の $\sqrt{\frac{1 + ρ_{1}}{1 - ρ_{1}}}$ 倍——α表記とρ表記は、同じ一つの恒等式の裏表である（α=0.5 と ρ₁=0.5 は同じ世界を指す）。倍率の感覚を持っておくとよい: ρ₁=0.3で約1.4倍、0.5で約1.7倍、0.8で3倍。自己相関は、隠れた分散の量り売りの目盛りである。

αはどれほど確からしいか。補式1は点推定である。四半期リターンn個からρ₁を推定したときの標準誤差はおおよそ $\sqrt{\frac{1 - ρ_{1}^{2}}{n}}$ ——四半期百個・ρ₁=0.6なら約0.08である。平均も同時に推定する通常の場合、推定量には小標本の偏りがあり、その大きさは概ね −(1+3ρ₁)/n（同じ条件で約−0.03）——平滑化を実際より小さく見る向きに働く。誤差は倍率へ伝わる。ρ₁が0.52・0.60・0.68のとき倍率は1.8・2.0・2.3倍——標準誤差一つ分の幅で、復元されたボラティリティは上下に1〜1.5割ほど動く。しかも倍率の式は分母に1−ρ₁を持つから、ρ₁が高いほど、同じ誤差が大きく拡大される。剥がした数字を検収する者が問うべきことは、したがって四つである。標本期間はどれだけか。模型は何で、次数はいくつか（模型の差がどれほど効くかは〔決める式〕Ⅱ節末尾）。上場の代理指標と突き合わせたとき、復元値はその帯に収まるか。そして、αを±0.1動かしたとき、結論は生き残るか。

式3

R^{o}_{t}=\theta_{0}R_{t}+\theta_{1}R_{t-1}+\cdots+\theta_{q}R_{t-q},\quad\theta_{j}\in[0,1],\ \sum\theta_{j}=1

平滑化の程度は指数 ξ = Σθ_j²（グザイ）で測る。ξ＝1なら平滑化ゼロ、小さいほど強い平滑化。例：θ＝(0.5, 0.3, 0.2) なら ξ＝0.25＋0.09＋0.04＝0.38。

式3は、同じ現象のより一般的な書き方である（Getmansky–Lo–Makarov）。観測リターン R°_t は、真のリターンの現在から q 期前までの加重平均であり、重みθは合計1。式1のような一つの機構を仮定せず、「とにかく観測は真値の移動平均である」とだけ置く——ヘッジファンドのように平滑化の機構が多様な場合に強い。重みの推定値そのものが診断になる: θ₀が小さいほど、今期の数字に今期の真実が入っていない。

式4

\mathrm{SR}_{\text{年率}}=\frac{12\,\mathrm{SR}_{\text{月次}}}{\sqrt{12+2\sum_{k=1}^{11}(12-k)\,\rho_{k}}}

ρ_k：k次の自己相関。全ρ＝0なら分母は√12＝3.46に戻る。

式4は、この病理がいちばん実務に刺さる場所——シャープレシオの年率化——である。月次シャープを年率にするとき、慣行は√12を掛ける。だがこの√12則は「各月が独立」という前提の上にしか立たない。リターンが粘る（自己相関ρ_kが正の）系列では、分母の中の $2 \sum (12 - k) ρ_{k}$ が正になり、正しい年率化係数は√12より小さくなる——つまり√12則は、平滑化された資産のシャープレシオを系統的に過大評価する（Lo 2002）。私募やヘッジファンドの「驚異的なシャープ」の一部は、収益の腕前ではなく年率化の算術から来ている。数字を疑う順番として、リターンより先に、まず換算則を疑え——これがⅡ節全体の教訓である。

導出

式4はどこから来るか — 定義から四段で機械的に出る

出発点は定義だけである——年率シャープレシオとは、12か月合計リターン R＝r₁＋…＋r₁₂ のシャープレシオのこと（月次超過リターンは定常、すなわち μ・σ²・ρ_k が期間中不変とする）。

段1（分子）　期待値は和に対して線形: $E [R] = 12 μ$ 。平均は自己相関に無関心である——歪みはすべて分母で起きる。式4の分子の「12」はここから来る
段2（分母）　和の分散は「分散の和」では済まない。二乗を展開すると交差項が全て現れる: $Var (R) = \sum_{i} Var (r_{i}) + 2 \sum_{i < j} Cov (r_{i}, r_{j})$ 。第1項は $12 σ^{2}$ 、第2項が本体である
段3（数え上げ）　定常性から Cov(r_i,r_j) は間隔 k＝j−i だけで決まり、ρ_kσ² に等しい。ラグkの組は12か月の中に (12−k) 組——ラグ1は11組、ラグ2は10組、……、ラグ11は1組。ゆえに $Var (R) = σ^{2} [12 + 2 \sum_{k = 1}^{11} (12 - k) ρ_{k}]$ 。和が k＝11 で止まるのは、12か月の窓の中にそれ以遠の組が存在しないからである
段4（組立）　 ${SR}_{年率} = \frac{E [R]}{\sqrt{Var (R)}} = \frac{12 \cdot {SR}_{月次}}{\sqrt{12 + 2 \sum (12 - k) ρ_{k}}}$ ——式4。検算: 全ρ_k＝0なら分母は√12に退化して√12則が特殊解として戻り、ρ_k＞0なら分母は√12を超えて、√12則は年率SRを過大評価する

暗黙の前提を三つ添える——①定常性（危機ではρ自体が動く）②超過リターンで測っていること ③これはLo（2002）の一般式であり、平滑化はρ＞0を作る典型例の一つにすぎないこと。

導出を終えると、分母にもう一段の読み方が生まれる。ρ＞0のとき分母の中身が12を超えることは、1年分の平均の精度が、独立な12か月分に満たない——実効的な独立月数が12より少ない——ことの別表現である。例えばラグ1に ρ₁=0.5 があるだけで、実効的な独立月数は約6か月に落ちる——1年の成績の中に、独立な情報は半年分しか入っていない。そしてこの読み方は、本書の式の家族を一つに束ねる: 式10の√BR（独立な賭けの数）、式12の実効銘柄数、式15の√h——見かけの標本数ではなく、独立な標本の実効数の平方根が、リスクと精度を決める。式4を含む四つの式は、この一つの原理の四つの顔である。

数値例 1

α=0.5 のとき、見かけのボラティリティはいくらか

$分散比 = \frac{α}{2 - α} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}$
$ボラ比 = \sqrt{1 / 3} \approx 0.577$
観測ボラティリティが7%なら、真のボラティリティは約 7%÷0.577 ≈ 12%

含意: 「新情報の半分を反映する」という穏当な鑑定行動だけで、リスクは半分近くに見える。リスク予算・相関行列・配分最適化にこの数字をそのまま入れれば、誤りは体系全体へ伝播する——補正（非平滑化）が任意でなく義務である理由。

論考別紙 Ⅲ対抗馬の算術 — PMEとダイレクトアルファ（式5・補式2）

式5

\mathrm{KS\text{-}PME}=\dfrac{\sum_{t}\frac{D_{t}}{1+r^{m}_{0,t}}+\frac{\mathrm{NAV}_{T}}{1+r^{m}_{0,T}}}{\sum_{t}\frac{C_{t}}{1+r^{m}_{0,t}}}

D_t：分配、C_t：コール、r^m_0,t：0期からt期までの指数の累積リターン。PME > 1 なら「指数に置いておくより良かった」、< 1 なら「指数に負けた」。年率の超過収益（%表示）として表現し直したものがDirect Alpha（Gredil, Griffiths & Stucke, 2014）で、実務上はこちらが解釈しやすい。

何を言っているか。「このファンドに入れた金を、同じ日に同じ額だけ市場指数に入れていたら、いくらになっていたか」という対抗馬を作り、実績との倍率を取る。分母は、各期の出資 C_t を市場のその後のリターンで割り引いた（＝指数で運用した場合の現在価値に直した）合計。分子は、受け取った分配 D_t と終端評価額 NAV_T を同じ規則で直した合計。比が1を超えれば、市場に勝った——それだけの式である。なぜこの形か。私募の成績指標の標準であるIRRは、キャッシュフローのタイミングに汚染される——早い分配がIRRを吊り上げ、サブスクリプション・ラインで人為的に演出もできる（オルタナ編第2章）。PMEは割引率そのものを市場リターンにすることで、タイミングの巧拙と市場の追い風を一挙に控除する。Kaplan–Schoarの洞察は「ベンチマークを別に選ぶのではなく、割引率をベンチマークにする」という一点にある。落とし穴。①分子のNAV_Tは運用者の自己申告であり、清算前のPMEは常に仮の数字（式1〜3の全病理がここに入り込む）②指数の選択一つで答えが動く——小型株ファンドを大型株指数と比べれば勝ちやすい③1.05という値の解釈: 資金の実働は名目の十年より短いとはいえ、市場+5%累計は、年率に直せば僅かである——正確な年率は、この後の補式2（ダイレクトアルファ）が与える。

この落とし穴③への正式な答えが、本編が名前だけ紹介したダイレクトアルファ（Gredil–Griffiths–Stucke——オルタナ編第2章・補遺B）である。式で書けば、こうなる（補式2）。

補式2

0=\sum_{t}\frac{\tilde{D}_{t}-\tilde{C}_{t}}{(1+a)^{t}}+\frac{\widetilde{\mathrm{NAV}}_{T}}{(1+a)^{T}},\quad\tilde{X}_{t}=\frac{X_{t}}{1+r^{m}_{0,t}}

材料はPMEと完全に同じである——全キャッシュフロー X_t を、実現した指数リターンで同一時点の価値 X̃_t に換算した系列。PMEはこの材料から比を作ったが、ダイレクトアルファは残差の年率を解く: 指数換算後のキャッシュフロー系列を正味ゼロにする内部収益率 a が、指数に対する年率超過収益そのものになる（実務では ln(1＋a) の連続複利で表示することも多い）。ファンドの成績が指数と全く同じなら、換算後の系列は自然に相殺して a＝0——PME＝1 とダイレクトアルファ＝0 は、同じ地点の二つの名前である。「PME 1.05は、結局年率で何%なのか」という委員会の問いに、勘の換算ではなく定義で答える式であり、報告に最も適した形はこちらである。ただしIRRの族である以上、複数解や再投資の解釈上の注意は残る（補遺B）。

論考別紙 Ⅳ帳簿の未来 — ペーシングモデル（式6）

式6

C_{t}=\mathrm{RC}_{t}\times(\mathrm{CC}-\mathrm{PIC}_{t}),\quad D_{t}=d_{t}\times\mathrm{NAV}_{t-1}(1+G),\quad d_{t}=(t/L)^{B}

C_t：t年のコール＝コール率RC_t×未実行残高（総コミットCC−払込済PIC）。D_t：分配＝分配率d_t×成長後NAV。分配率は経過年数tのべき乗（t/L)^Bで立ち上がる（L：ファンド期間、B：立ち上がりの鋭さ）。〔オルタナティブ編〕の図1・図5はこのモデルの出力である。

三本の小さな式が、私募プログラムの将来キャッシュフローの機械（Takahashi–Alexander型）を成す。第一式: 今年のコール C_t は、未実行残高（約束額CCから払込済みPICを引いた残り）にコール率 RC_t を掛けたもの——呼ばれる金は、残っている約束からしか呼ばれない。第二式: 今年の分配 D_t は、成長後のNAVに分配率 d_t を掛けたもの。第三式が設計の妙で、分配率 $d_{t} = {(\frac{t}{L})}^{B}$ はファンド年齢 t が寿命 L に近づくほど1へ立ち上がる——べき乗 B が立ち上がりの遅速を決める（Bが大きいほど、分配は後半に集中する）。なぜ重要か。この機械を回して初めて、「目標配分を維持するには毎年いくら新規コミットすべきか」「危機の年に現金はいくら要るか」が計算できる。実務の急所はパラメータの出自である——RC も B も平時のデータから推定されるが、危機には分配が深く涸れ、コールは止まらずに続く（Robinson–Sensoy——双方が市場と順循環し、分配の落ち込みがより深い）。だから補遺Cはコール率×1.5・分配率×0.3〜0 の複合ストレスを検査の標準に置いた。モデルの式は単純でよい。単純な式に、厳しい入力を通すことが規律である。

論考別紙 Ⅴ資産の値段の骨格 — 信用と不動産（式7〜8）

式7

\text{期待信用損失}\approx\mathrm{PD}\times\mathrm{LGD}

シニア担保付ローンの歴史的な目安は PD 2〜3%、LGD 30〜40%（回収率60〜70%）だが、いずれも銀行融資時代・低金利期の標本に基づく。ユニトランシェ（回収データがほぼ存在しない）とコベナンツライト化がこの目安をどれだけ劣化させるかは、次の景気後退まで誰にも分からない。

プライベート・デットの世界を二文字×二文字に縮めたのが式7である。期待信用損失は、デフォルト確率 PD と、デフォルト時にいくら毀損するか（LGD＝1−回収率）の積。直観。受け取っているスプレッドのうち、この積に相当する部分は「保険料の前受け」であって、超過収益ではない——好況期には損失が実現しないため、保険料がまるごと腕前に見える（オルタナ編第14章の中心論点）。落とし穴。これは期待値であり、分布ではない。PDとLGDは不況で同時に悪化する（担保価値は借り手が倒れる日に下がる）——積の実現値は、平時の掛け算が示唆するより重い尾を持つ。

式8

V=\frac{\mathrm{NOI}}{c}\;\rightarrow\;\frac{\Delta V}{V}\approx\frac{\Delta\mathrm{NOI}}{\mathrm{NOI}}-\frac{\Delta c}{c}

c：キャップレート。分母が4%のとき、cの1%ポイント上昇は価値を約20%毀損する——価値のキャップレート感応度は概ね 1/c、すなわち「デュレーション20〜25年の資産」に相当する。

式8は不動産の値段の会計恒等式である。物件価値 V は純営業収益 NOI をキャップレート c で割ったもの——「年間収益の何倍で取引されるか」の逆数が c だと言ってもよい。右側の近似が実務の急所で、価値の変化率は収益の変化率とキャップレートの変化率の差に分解される。つまり不動産のリターンには二つのエンジンがある: 賃料（NOI）と、評価倍率（c）。低金利期の不動産の輝きの多くは NOI ではなく c の低下——倍率の膨張——から来ており、金利が戻れば同じ算術が逆回転する。キャップレートは不動産の割引率であり、金利リスクはここに隠れている（オルタナ編第15章）。

論考別紙 Ⅵアルファの定義 — 回帰と、基本法則（式9〜10）

式9

R_{i}-R_{f}=\alpha+\beta_{m}(R_{m}-R_{f})+\beta_{s}\,\mathrm{SMB}+\beta_{v}\,\mathrm{HML}+\varepsilon

R_f：無リスク金利、SMB（Small Minus Big）：小型株ファクター、HML（High Minus Low）：バリューファクター。モメンタム（Carhart 1997のUMD）を加えた4ファクター、収益性・投資を加えたFama–French 5ファクター（2015）が後継。ここでのαが「ファクターで説明できない真の付加価値」の推定値となる。

本書で最も思想的な式が、この見かけ上ただの回帰式である。左辺は運用者の超過リターン。右辺は、市場（R_m−R_f）・小型株（SMB）・割安株（HML）という三つのファクターへの感応度（β）で説明できる部分。そしてαは、その引き算の残りである。何を言っているか。アルファは絶対的な実在ではなく、モデルに相対的な残差だ——ファクターを一つ増やすたびに、昨日までαと呼ばれていたものの一部がβへ移る。市場だけで測れば「腕前」に見えた成績が、小型・割安を入れると「安く買える系統的な傾き」に分解される（オルタナ編第1章のラグ付きベータも、このεの中に隠れていたβを掘り出す同じ作業である）。実務の含意。「アルファがある」という主張には、必ず「どのモデルに対して」が付随する。報酬契約が単純な指数対比で書かれ、評価が多因子で行われる二層構造（伝統資産編第7章）は、この式の政治学である。

式10

\mathrm{IR}=\mathrm{IC}\times\sqrt{\mathrm{BR}}\times\mathrm{TC}

式10は、アクティブ運用の成果の生産関数である（Grinold の基本法則、制約付き拡張は Clarke–de Silva–Thorley）。情報比 IR——リスク1単位あたりの超過収益——は、三つの積に分解される。IC は腕前（予測と実現の相関。優れた運用者でも 0.05 程度——53勝47敗の世界）。BR は年間の独立な賭けの数。TC は移転係数——確信をポートフォリオに書き写せた割合で、制約の価格である。なぜ平方根か。独立な試行を n 回重ねたとき、平均の精度は n 倍ではなく√n 倍でしか改善しない——コイン投げの大数の法則そのものである。含意が三つ出る。①僅かな腕前も、独立な機会が多ければ大きな成果になる（クオンツの論理）②機会の少ない領域——年に数件のマネージャー選定はその極限——では、短期成績はほぼ運である（Mauboussin、伝統資産編第2章）③ベンチマークの押し付けが TC と BR を同時に削る機序（論考別紙〔参照点の統治〕Ⅱ）は、この式の上で正確に読める。

論考別紙 Ⅶ配分の言語 — リスクの足し算（式11〜13）

式11

\mathrm{RC}_{i}=w_{i}\times\frac{\partial\sigma}{\partial w_{i}},\quad\sum_{i}\mathrm{RC}_{i}=\sigma

ポートフォリオのリスクσは、単純な足し算では分解できない——資産同士が相関するからである。だが限界寄与（ウェイトを僅かに増やしたときのσの増分 ∂σ/∂w）にウェイトを掛けた量 RC_i を使えば、その合計は厳密にσに一致する（同次関数に関するオイラーの定理の応用）。これがリスク寄与度であり、「配分の言語を資金からリスクへ」という本書の標語の数学的な足場である。資金では6:4のポートフォリオが、リスクでは9:1である——この訳し直しを可能にするのが式11で、実際の計算は伝統資産編の数値例8-1が電卓で再現している。落とし穴。寄与度は共分散行列の関数であり、行列が平滑化データで汚れていれば（Ⅱ節）、言語ごと汚れる。

式12

N_{\text{実効}}=\frac{1}{\sum_{i}w_{i}^{2}}

式12は分散の「実質」を測る。ウェイトの二乗和の逆数——全銘柄が等ウェイトなら N_実効＝銘柄数、集中していれば急減する（w=0.9/0.1 の2銘柄なら $\frac{1}{0.81 + 0.01} \approx 1.2$ ——名目2銘柄、実質1.2銘柄）。産業の集中度指標 HHI の逆数と同じものである。使い道。「200銘柄に分散しています」という報告の検算。リスク寄与度で測った実効数はさらに小さくなるのが常で、株式リスクが支配する典型的な年金ポートフォリオは、リスクで見れば実質ほぼ1銘柄である（伝統資産編第8章）。

式13

\mathrm{DTS}=D_{s}\times s,\quad\frac{\Delta P}{P}\approx-\mathrm{DTS}\times\frac{\Delta s}{s}

式13はクレジットの活動量の物差しである。債券価格のスプレッド感応度（スプレッド・デュレーション D_s）にスプレッド水準 s を掛けた量 DTS——スプレッドの変動が比例的（水準の高い銘柄ほど大きく動く）であるという実証に立てば、クレジットのリスクは D_s 単独ではなく DTS に比例する。直観。同じデュレーション5年でも、スプレッド300bpの銘柄は100bpの銘柄の3倍動く。ゆえに「クレジットをどれだけ持ってよいか」のガイドラインは、額でもデュレーションでもなく DTS で書く（伝統資産編第17章、論考別紙〔参照点の統治〕Ⅴ）。

論考別紙 Ⅷ時間と確率 — 37%の算術（式14〜15）

式14

P(R<0)=\Phi\left(-\frac{\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(-\frac{4\%}{12\%}\right)\approx 37\%

P(\text{10年間無赤字})=(1-0.37)^{10}\approx 0.63^{10}\approx 1\%

μ＝期待リターン（年率）、σ＝ボラティリティ（年率）、Φ＝標準正規分布の累積分布関数。年次リターンの独立を仮定した正規近似。

統合本章が期待の管理の算術的基盤に置いた式である。年率リターンが平均μ=4%・標準偏差σ=12%の正規分布に従うなら、単年度が赤字になる確率は、ゼロが平均から何標準偏差下にあるか（ $\frac{μ}{σ} \approx 0.33$ ）を標準正規の累積分布Φに通して、約37%。さらに各年が独立なら、10年間一度も赤字を出さない確率は 0.63 の10乗——約1%。何を言っているか。3年に1回強の赤字は、この設計の故障ではなく仕様であり、「毎年黒字」という暗黙の期待は、統計的に不可能な要求だということ。この二つの数字を理事会と社会に事前に語っておくことが、統合本章の言う期待管理の中核である——暴落の後に語れば言い訳になり、前に語れば設計になる。

式15

P(h)=\Phi\left(-\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{h}\right)

μ・σは年率。h＝1/12（月次）で約46%、h＝1（年次）で約37%、h＝10（10年累積）で約15%。

式15はその一般形で、評価期間を h 年に伸ばしたときの「期間平均が赤字になる確率」を与える。平均のばらつきは√h分の1に痩せるから、Φの中身に√hが掛かる——h=1で37%、h=10なら $Φ (- 0.33 \times \sqrt{10}) \approx 15 %$ 。時間は、平均のリスクを痩せさせる。長期の評価軸が単なる恩情ではなく統計の要請であることの、最短の証明である。落とし穴を二つ。①痩せるのは「平均」のリスクであって、終端の富のばらつきは時間とともにむしろ広がる——「長期だから安全」の乱用への戒め ②この算術は正規性と独立性を仮定しており、現実の尾は厚く、危機は連鎖する（統合終章Ⅷ）。式は出発点であって、結論ではない。

論考別紙 Ⅸ結び — 式を疑う自由

十五の式を並べ終えて、共通の骨格が見える。本編の式は、二種類しかない。剥がす式（式1〜4・9——見かけから真実を取り戻す）と、訳す式（式5〜8・10〜15——成績を対抗馬に、資金をリスクに、単年度を時間軸に訳し直す）。どちらも、何かを当てにいく式ではない（式6の経路の機械も、当てる式ではなく、仮定を通す式である）。数字の作られ方を問うという本書の第一の習慣を、機械にしたものである。そして全ての式に共通する最後の注意を記す——式は仮定の上に立ち、仮定は式の外に書いてある。正規性、独立性、パラメータの安定。式を使う資格は、式を信じることではなく、その仮定が壊れる日を知っていることである。式を恐れる者は式に騙される。式を読める者だけが、式を疑える。

第2.10版まで本紙の第Ⅱ部（Ⅹ〜ⅩⅤ・決める式）だった六節は、第3.0版で論考別紙〔決める式〕（第30号）へ移した（2026-09-27）。本文は逐語同一で、式・数値例・図の番号は本紙に続く。

論考別紙参考文献

本欄は第3.1版（2026年10月）で新設した。それまで本紙の書誌は資料別紙〔文献解題〕へ統合していたが、解題は姓と年で引く読書案内であり、誌名・巻号を持つ書誌の完全形は各巻の欄が正典である（本書の文献規約）。書誌は〔検証の記録〕の確認記録と CrossRef で照合した。

Bartlett, M. S. (1946). On the Theoretical Specification and Sampling Properties of Autocorrelated Time-Series. Journal of the Royal Statistical Society, Supplement, 8(1), 27–41.
Getmansky, M., Lo, A. W., & Makarov, I. (2004). An econometric model of serial correlation and illiquidity in hedge fund returns. Journal of Financial Economics, 74(3), 529–609.
Grinold, R. C. (1989). The Fundamental Law of Active Management. Journal of Portfolio Management, 15(3), 30–37.
Lo, A. W. (2002). The Statistics of Sharpe Ratios. Financial Analysts Journal, 58(4), 36–52.
Marriott, F. H. C., & Pope, J. A. (1954). Bias in the Estimation of Autocorrelations. Biometrika, 41(3/4), 390–402.
Mudelsee, M. (2001). Note on the bias in the estimation of the serial correlation coefficient of AR(1) processes. Statistical Papers, 42(4), 517–527.